学数学要“熟”、“练”、“化”
——华罗庚先生向北京师大附中高中学生讲话摘要（1963年）
今天，我来给大家谈谈学习数学的方法问题。我准备讲“熟”、“练”、“化”三个字，其中重点讲“化”字。我认为学习数学要达到“化”的标准。为什么要达到“化”的标准，怎样才能达到，达到了又有什么好处呢？我下面就着重讲讲“化”的问题。
首先“化”，就是不要死记硬背。
最近，我看到不少中学生有这样的情况：念书时念到后面忘了前面；课本讲的都会，但一到活用时就不会了；有的上课时，老师讲的能听懂，一做习题困难就来了；有的学生只会做书上的题，另外出题，稍一灵活就不行了，等等。原因在哪儿呢？原因就在于学的东西没有消化。知识不消化，不把书本上的知识变成自己消化、理解了的东西，在运用中自然会遇到很多因难。
比如在学习解一元二次方程的时候，有的同学死记公式 ，满以为就够了，就会做习题和应付考试了，但是过了些时间就模糊了，-b有没有负号，没把握了；b²-4ac也许记成b²-ac了。这就是不消化的后果。
相反，如果不是死记公式，而是记住了“配方”的原则，就是公式偶尔忘了，只要配了方，公式是照样可以写出来的。因此，我认为着重搞清“配方”是很重要的，不要认为“配方”只是在解二方程时才用，其实中学里用到“配方”的地方很多，特别是不等式的处理，就是学高等数学也要用“配方”(比如二次型，泛函分析，正交级数等等都要用“配方”)。
从上述例子看出，初中学的“配方”是一条基本原理，如果学习时把这条基本原理消化了，尽管各个阶段不同，知识加深了，但可以用同一原理去解决，而不必去死记各种公式。知识要能灵活运用。
再谈谈“化”的好处。
数学是一种工具，学习的目的在于实际运用。做习题是运用；但更重要的是你们将来参加社会主义建设以后的实际运用。你们知道在社会主义建设中遇到的问题，是不可能标上符号，告诉你们可以用代数第几册第几定理去解决的，甚至不知道是不是数学问题，也不知道用什么方法才能解决。要解决这样的问题，最重要的一点就是学得的知识要消化，要养成独立思考的能力，有时有这样的情况，即在解决同一问题时，有的人因为把知识消化了，很容易地用初等数学就解决了，可是自己没有消化，虽然学了不少数学，但费尽了思索，却怎么也找不到解决的途径。
我认为做到“化”有以下几点好处：
第一、已经学过的东西不容易忘记；
第二、学习新的东西时容易掌握，它只是在原有的基础上添上一点——关键性的一点，而不是整块整块地硬堆上去；
第三、也是最重要的，就是“化”了以后能够用，能够活用，能够适应各种各样具体情况来活用。
消化是一个过程，不能着急。知识不是一下子就能消化得了的。某些知识和技能甚至需要几个反复，才能消化和掌握，但是每走一步都细细咀嚼一下，消化就会好一些。在消化的过程中，适当做点儿难题是有好处的。做难题可以达到进一步训练思维的目的，可以开阔眼界，使得思维更灵活。
有的同学怕做难题，我认为是不必怕的。要知道做一道难题所遇到的因难和你们将来参加会主义建设所遇到的困难相比，是算不了什么的。而且我们所说的这些难题都离不开书本，既是书本上有的东西，肯定是能够用书本上的知识来解决的。
当然，我也不提倡一味的做难题。所谓难题是比较而言的，而且是在学好基本知识、练好基本功的前提下，有一部分同学可以适当的做些难题。如果为做难题而做难题，不注意扎扎实实地学好基本知识，是不妥当的。
关于“化”的标准。
把书本上的题都演了，算不算达到“化”了呢？不算。但是“化”的标准也不是高不可攀的。“化”的标准就是我们常说的“由薄到厚”再“由厚到薄”。在学习的过程中，听老师讲解后懂得的东西多了，原先不懂的，现在懂了，这也就是“由薄到厚。而“由厚到薄”，不是说把学的东西忘了，而是经常体会、运用、理解了，消化了。
大家可以回忆：学二元一次方程组时，学了好几种解答的方法，有消元法、代人法、公式法等，至少有五、六种。书上讲一种方法，篇幅要占两页，学六种方法就有十几页，事实上，需不需要记住那么多呢？实际上，解二元一次方程组的要点是消掉一个变数，留下一个变数，各种方法都是为了达到这目的。解三元一次方程组，同样是先消去一个变数，留下两个变数，然后再消去一个变数，留下一个变数。高三的同学学过了行列式 （编者注：现行高中教材中没有行列式的知识），你们知道，对于计算行列式，消元法也是很重要的。不论一个方程组有多少个未知数，去解时都要用消元法。
因此，“化”的标准就是要看，在学习以后究竟变“薄”了没有，也就是说，是否概括掌握所学的知识的要点，是否掌握到问题的本质，是否能够举一反三，触类旁通。
要达到“化”，就要“熟”和“练”。
同学可以说，学知识要消化，我们同意，但怎样才能达到消化的程度呢？我认为要达到“化”，不外“熟”和 “练”。
什么叫“熟”？把知识念“熟”很重要，但是我说的“熟”不是和尚念经那样的熟，而是消化了的“熟”，就是每复习一遍都有所提高。什么叫“练”呢？大家可能想“练”就是多做习题。这当然不错，但是练不能盲目的练，要有先复习后作题的习惯，要会分析题，真正弄明白了再去做习题，不要机械地套公式。练也不只是多练，经常练，而且更重要的是活练。比如，同学们家中可能有小弟弟，小妺妹，他(她)们来问你问题，你不愿回答，这样，一是风格不够高，再就是你失去了一个练的机会。这实际上是一个很好的锻炼机会，看了会不会，会，就启发小弟弟小妹妹去做，不会，你就复习复习，说明有些东西过去没搞清楚再加加工，这是好机会，别等数学考试考不出来才去复习。
在锻炼里，最重要的问题是“活练”，也是今天讲的中心问题。活练的意思是：看见问题就想一想，问一问为什么？动动手看会不会。
有没有问题？问题多得很。如茶杯有没有问题，有人说这是喝茶的，没有数学问题。其实看到茶杯可以想到很多数学问题：第一，从来没有见到茶杯盖掉进茶杯里，但方的茶叶筒盖子却经常掉进去，椭圆的也会掉进去。思考问题就来了： 是不是还有别的形状的盖子不能掉进去？这样后来试了试，方的不行，六角的、八角的，椭圆的都不行，这样就会想到，除了圆以外都不行了。但我要告诉大家，的确有别的图形掉不进去，如拿一个两脚规，固定一端为圆心划弧，然后把另一端固定在所划弧上，以同样半径划弧，再以两弧的交点为圆心，以同样的半径划弧，就得到三个弧交点的图形(图1)。这样的图形掉得下去否，大家不妨试一下，想一想。
图1 Reuleaux三角形，由机械师Reuleaux发现的，他发现用这样的形状代替圆盘可以节约材料
又例如，在搞农业硏究时，研究光合作用，需要量稻叶的面积，怎么量？同学的回答一定是不会量，因为大家只学了三角形、四边形和圆的面积。农业科学家有一个办法，他们是用 长度ⅹ宽度/1.2的公式，长是稻叶顶端到柄的距离，宽是叶子最宽的地方。这公式是根据统计材料得出来的，是一个植物学家量了多少万张稻叶得出来的这个规律。但有一次，在一实验里密植高度的情况下，他们也这么量，长宽相乘再除1.2，我说这个不能除1.2，如果这样做误差太大了。一量的确是误差很大。他们很奇怪，就问我“为什么你能说误差很大呢？”学过数学的人听了这个方法就要想一想，1.2是什么意思？首先我想到如果是两个长方形加一个三角形(图2)，不是6：5吗？刚好是1.2，所以如果稻叶收尖在2/3的地方，这个方法是误差不大的，但是密植出来的稻叶收尖开始得早了，再用这个公式当然就不合适了。
图2
类似这样的问题很多，甚至走路都会走出问题来。比如，当我们看到城市里指挥交通的红、黄、绿三种灯时，就出现了是否要三盏灯的问题。(两盏行不行，先思考一下，再考虑一下红灯是停止信号，黄灯有透雾作用等等。)
上面讲到茶杯，就会想到茶杯为什么不矮一点呢？立刻就会想到：一个茶杯盛同样多的水，怎样构造用的材料最少？高中的同学都可试试想能不能解决这个问题，假定是圆柱体，分有盖、没盖两种情况来研究。
这个图是取自 Peter Lax 等著《微积分及其应用》（林开亮等译，科学出版社，2018年）
再例如，看到房梁就会想到，如果给了一块木头，要做一个方梁，怎样截取受压最好的问题。这牵扯到材料力学了，同学们还解决不了。我告诉大家一个切法。如果给的是一个圆柱，那么可以把它的值径分成三等分(图3)，在距直径一端1/3的地方向上作垂线，和圆相交于一点，连接这点和直径的两端。同样，在距直径另一端为1/3的地方，向下作垂线，也可以得到另外一交点，连接这个点和直径的两端。按这样的图形切下来的方梁受压最好。
再以计算洲际导弹射程为例：如果从地球北半球上某一地点向南面某一地区——比如象图5所表示的有P₁，P₂，P₃，P₄四点坐标的地区——发射洲际导弹，我们可以从这已知的四点算出导弹的射程有多少；也可以找到它的发射地点。试想一想，为什么看了四点就知道射程了呢？
我们还是先来看个例子。普通打枪打炮时，他一定会给出一个扇形的危险区域。因为打炮时有两种可能性，一种是炮口上下摆动；一种是炮口左右摆动，出发点是同一个。如果要防止别人受伤，一定要给个有把握的范围，这样就给出了扇形的上下和左右边。我们一知道范围，就知道炮弹是从那儿打出来的，即扇形左右两边延长线的交点就是(图4)。
现在我们把洲际导弹射达区域放到地球上 (P₁，P₂，P₃，P₄）来，见图5，不解释大家也知道，通过左面两点和球心作一平面，再过右面两点和球心作一平面，得到两个大圆，它们在球面上的交点，就是我们所要找的发射地点了。当然是不会那么准确。因为这是中学生的办法。这个问题不只启发了这一点，还可以把它的准确度算来。还有，上面的两点距离长，下面的两点距离短，是因为它的射程超过了地球周长的1/4，为了帮助低年级的同学们了解得更好，我们用一个更简单的办注，拿一个地球仪来，把这四点的位置钉上大头针，用两根铅丝做成两个和地球仪赤道半径相同的圆周，通过给定的左面和右面的两点套上去，这样两个圆的交点就是我们所要求的地方。有人问：“哪一年级的学生能算出来？”我认为，念过立体几何的可以试一试，学过立体解析几何的一定行。当然，学过球面三角会更好些。对数学好一点的人，没学过立体几何也能算出来。
从这里看出，要学好数学，一定要经过艰苦的劳动，不断的思考问题，经过失败，然后才能解决问题。有的同学问，学数学是不是要有天才，我个人看法，最主要的还是在于努力。两个人，有一个天资稍差一点，但他努力，主观上艰苦些，碰到问题多想想，反而还会长进得快些。
大家一定很爱看课外读物，像《十万个为什么？》等书，这是好书，我个人也很喜欢。看这些书主要问题是用什么样的水乎去看，你是用小孩的身份看，还是用大人身份看。象《十万个为什么》这样类型的通俗读物有些同学看了，多想一想，很可能想出的比十万个问题还多。
例如有些书上说人造卫星第一宇宙速度是8公里/秒，一般书上说的理由是，圆形的轨道就掉不下来。但是椭圆轨道的人造卫星不是也掉不下来吗？为什么8公里得出圆形轨道？又说卫星有时走得快，有时走得慢，书上也有个解答。难道这些就能满足我们的求知欲吗？(这些问题大家念到微积分时，就可以进一步得到解答。)
最近，我看了一批通俗书，谈到关于 蜂房的问题，书上是这么说的：
如果把蜜蜂放大到人体一样大小，那么蜂箱就会成为一个上面挂下来的面积二十公顷、开口向上的密集的立体市镇。上面有成千上万个六角形的蜂房。为什么是六角形？这到底有什么好处呢？
十八世纪，法国一个学者 马拉尔琪（Giacomo F. Maraldi）曾经测量过蜂窝的尺寸，得到一个有趣的发现，即蜂房的六角有一定规律，钝角有109°28′，锐角等于72°32′，难道这是偶然的现象吗？法国一个物理学家 列奥缪拉想，是不是为了使材料最节省，容积最大呢？他请了法国科学院院士、瑞士数学家 克尼格（Johann Samuel König），经他计算的精果，使人非常震惊，因为他从理论上计算出，要使消耗材料最少，制成最大的菱形容器，一个角是109°26′，另一个角是70°34′。这与蜂窝的角度只差两分。给大家介绍一下两分是多少。时钟的钟面是360°，5分钟就是30°，一分钟是6°，把一度再分成60分，而在这里才相差两分。相差的已经是很少了。后来，苏格兰一位数学家 麦克劳林（Colin Maclaurin）进行了计算，发现科学院院士算错了，因为他用的对数表有错，刚巧用到的是错误的数字。这很有趣，达尔文有句话“ 如果有人看见密蜂窝，看到这样构造而不倍加赞扬，那么这个人一定是糊涂虫。”
有些同学可能也看到过这个问题，碰到这个问题是不是就来个“有趣”，等于看了段《西游记》就过去了呢？不能这样，要问一问，我们是不是能算出109°28′？由这个问题启发我思考了好几个月。困难在那里？首先这个问题题不能成为数学问题，因为它是六角形，钝角是109°28′，锐角是70°32′，我不懂。六角形内角和是720°，平均一个角是120°，每一个角都比120°大，它所说的最大的不过是109°28′，这是什么意思？又说是菱形，怎么立体图形是六角形又是菱形？猜过来猜过去不对头，刚巧有机会碰到一位昆虫学家，给我个蜂窝看看，看过之后了解了，确实挺简单，几分钟内就解决了。现在给大家介绍一下。
给了个六棱柱，(图6)。它的一端的形状是ABCDEF正六角形，通过AC，一刀切(斜切)下一角，拿这个角(四面体)过去，装到顶上，过AE，CE如此同样各切一刀，所堆成的形状(图7)就是蜂房底部的形状。
数学老师要求你们学好数学有三点：一是熟练的运算能力；二是严格的逻辑推理；三是空间的几何想象能力。刚才讲的是一个六棱柱，通过不相邻的两个顶点切下来的是一个四面体，然后将这三个四面体堆在六棱柱顶上，四面体的顶点(B，D，F三点)和底面的中心重合，这样就成为以六棱柱为基础的三块菱形收尖的形状的物体(图7)。书上说的那个角度，就是这个菱形的角度，不是六角形的角度。它的底是一个六棱柱，顶是个尖顶形。
大家看了后，脑子会糊涂，我们用个简单问题启发一下，例如一个四方柱(图8)，可以切成许多不同的形状，一个办法是在距一双对边各1/4的两个地方切下来(斜切)，然后把它们竖到顶上。这样得到一个上面象一个房顶(屋脊)，下部是一个四方柱的物体(图9)。
还有许多别的切法，如过相邻两边的中点切下来，得到四个四面体(图10)将它们竖到四方柱的顶上，得到一个下部是四方柱，上部是四个菱形收尖的物体(图11)，看了这两个例子，六棱柱的切法就容易想象了。
现在我先提一个初等问题，然后再说难一点的问题，还是拿六柱来作例子(图6)，通过A，C两点在B棱上取X长切下来，然后过C、E点在D棱上取X长切下来，在下棱上过A，E两点和上面作法一样。现在问：怎样的X，使所得的尖顶六棱柱表面积最小，这问题比较好办。 (我和大家说明，并不是这个问题搞了我三个月。首先，碰到这个问题就放到脑子里了，不过我没有把它丢在脑后。当然，有许多理由我可以把它丢在脑后，例如这是人家已经解决的问题，可以不必想了；第二个理由是我的教学任务很忙，又有硏究工作，可能还要开会。这些都是理由，都可以使我放弃这个锻炼机会。不过有一个理由我不能放弃，就是我不会，不会就得想一想，我就是根据这个理由和大家提出这个用题来的。)这样就把原先是几何问题化成了代数问题，变成X在什么情况下，函数取最小值的问题。
把问题从几何学问题转到求最小值的问题，像我们念过高等数学的，知道用微积分一下就出来了。但不能满足，我还要对中学生作报告，就想想能不能用初等方法(例如高中数学)来解决。我给了四个方法，后来我去南京师院附中给学生讲过后，他们来三个方法，有一个高的同学也拿来做了，北京师大女附中的一位高一同学也给了我一个很好的解法，所以这个问题不是个难题。
可是，这个题还末达到应有的高度，因为我们还要想一想，是不是只有这一个切法，为什么只能从六棱柱切下来，用四棱柱是不是好一点？这样出现的题就更多了。所以，问题的真正提法是，不提四棱、六棱，只告诉要造一个对象，凑起来填满空间需要的材料最少是什么？这个问题难了，不是中学生的水平能解决的。
有兴趣的同学可以看看华罗庚所著《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》，该书是《数学小丛书》中的一册，《数学小丛书》一共18册。
同学们不妨试一试：求出使切出的面积最小的X，看菱形的角度是不是109°28′，70°32′。第二个问题是六棱柱有没有别的切法也能达到同样的作用(可以填满空间)，如果是切拼后的四方柱，是不是对得起来？在什么样的情况下，用的材料最少，表面积最小。大家可以拿这几个问题练练功。
注意练完不能就算完了，还可以再想一想，例如蜂房这个图形在别的地方见到过没有，看到这个109°28′很怪，实际上在结晶学和化学中都有这种情况，这样我们就发现，这并不是从天上掉下来的。
我讲的主要目的是给大家上一堂补充课。有的同学让我谈数学有什么用场，为什么学数学？我讲到这几点，大家可以看出，数学有这么多用场，而且在许多领城中都会用到。为什么？这是因为数学是研究数量关系和空间形式的科学。凡是有数量关系的地方，都有数学问题。在日常生活和生产劳动中，有很多重要的数量问题需要我们去解决。因此，数学是一门重要课程。在中学时代必须认真学好这门课程，掌握这一工具，把基础打好。
现代技术科学知识发展极为迅速，为了尽快地把我国建成为社会主义的强国，党号召我们树雄心，立大志，攀登世界科学技术高峰。在攀登科学技术高峰中，数学是其中的一个重要方面，同时也是其它科学的主要工具和助手。我希望你们努力学好这门课程，将来在祖国的建设事业中做出更多的贡献来。
1963年11月
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